函数F(x)=o.5x^2+aInx>0对任意x恒成立求常数a的取值范围

这道题没有想出初等数学的解决办法，只好依靠高等数学了。
函数定义域为(0,+∞)
首先，a = 0时，原式变为F(x) = o.5x^2，在(0,+∞)恒大于0，所以a可以为0；
其次，因为当 x < 1时，lnx会趋于负无穷，如果a大于0，那么o.5x^2+aInx相当于一个很小的正数加一个负无穷，不会大于0，所以只有a < 0

对F(x)求导，得到F'(x) = x - |a|/x，令其等于0，得到
x - |a|/x = 0 ,x = √|a|
当x>√|a|时，F'(x)>0;x<√|a|时，F'(x)<0，因此这是一个极小值点。
若要求F(x)>0恒成立，只需要最小值大于0即可。
当x = √|a|时有最小值，此时
F(x)min = F(√|a|) = 0.5|a| -0.5|a| * ln|a| > 0
ln|a| < 1
|a| < e，-e < a < 0
综上，a的取值范围是(-e,0]

定义域为x>0,
o.5x^2+aInx>0 ---->alnx>-0.5x^2--->exp(alnx)>exp(-0.5x^2)
--->x^a>(exp(-0.5))^(x^2)